Obiekt geometryczny, później nazwany „butelką Kleina”, został po raz pierwszy opisany w 1882 roku przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina. Co on reprezentuje? Ten obiekt (a raczej powierzchnia geometryczna lub topologiczna) po prostu nie może istnieć w naszym trójwymiarowym świecie. Wszystkie modele sprzedawane w sklepach z pamiątkami mają wygląd, który daje jedynie mgliste pojęcie o tym, czym jest butelka Kleina.
Dla większej przejrzystości opisano to następująco: wyobraź sobie butelkę z bardzo długą szyjką. Następnie mentalnie wykonaj w nim dwie dziury: jedną w ścianie, a drugą na dole. Następnie zegnij szyjkę, włóż ją w otwór w ścianie i wyciągnij przez otwór w dnie. Otrzymany obiekt będzie rzutem czterowymiarowego obiektu kosmicznego, który jest prawdziwą butelką Kleina, w naszej trójwymiarowej przestrzeni.
Opis butelki Kleina w języku terminów matematycznych lubformuły nie powiedzą nic laikowi. Czy taka definicja zadowoli wielu ludzi: butelka Kleina to niemożliwy do orientacji kolektor (lub powierzchnia), która ma szereg właściwości. Po słowie „właściwości” można zbudować długi ciąg składający się z funkcji trygonometrycznych, liczb oraz liter greckich i łacińskich. Ale może to tylko zmylić nieprzygotowaną osobę, która ma już pojęcie o tym, czym jest rzut butelki w przestrzeni trójwymiarowej.
Ciekawostka: nazwa „butelka Kleina” została nadana temu przedmiotowi najprawdopodobniej z powodu pomyłki lub błędu typograficznego tłumacza. Faktem jest, że Klein w swojej definicji użył słowa Fläche, czyli „powierzchnia” w języku niemieckim. Podczas „podróży” z Niemiec do innych krajów słowo to zostało przekształcone w podobną pisownię Flasche (butelka). Potem termin powrócił do kraju pochodzenia w nowej, zmodyfikowanej formie i tak pozostał na zawsze.
Dla wielu postaci kultury (głównie pisarzy science fiction) samo określenie „butelka Kleina” okazało się atrakcyjne. Jego użycie jako atrybutu, a czasem i głównego bohatera, stało się znakiem „intelektualnej” fikcji. Takie jest na przykład opowiadanie „Ostatni iluzjonista”, napisane przez Bruce'a Eliota. W opowieści asystent magika rozprawia się ze swoim patronem, który robił sztuczki z czterowymiarową butelką Kleina. Iluzjonista, który wspiął się do butelki, pozostaje w niej na wpół zanurzony. Według autora butelki tej nie da się rozbić bez uszkodzenia zawartości. Czy tak jest naprawdę - nie mogę powiedziećŻaden. Przynajmniej matematycy, którzy być może mogliby odpowiedzieć na to pytanie, nie byli tym zdziwieni, ponieważ dla nauki jest to nieistotne.
Czasami specjalnie wykonane butelki Kleina są napełniane winem w celach promocyjnych. To prawda, że wykonanie takiej szklanej butelki jest technicznie trudne, wymaga to najwyższej klasy dmuchawy do szkła. Dlatego ma dość wysoki koszt i jest rzadko używany. A rozwój technologii i produkcja takich butelek na strumieniu nie ma sensu, ponieważ do tego konieczne będzie opracowanie sposobu napełniania butelki płynem (tu też są trudności). A poczucie niezwykłości i nowości szybko zastąpi niewygoda nalewania wina z takiej butelki do kieliszków.
