W trakcie nauki matematyki studenci zapoznają się z pojęciem średniej arytmetycznej. W przyszłości w statystyce i niektórych innych naukach studenci będą mieli do czynienia również z obliczaniem innych średnich. Czym mogą być i czym się od siebie różnią?
Wartości średnie: znaczenie i różnice
Nie zawsze dokładne wskaźniki dają zrozumienie sytuacji. Aby ocenić tę lub inną sytuację, czasami konieczne jest przeanalizowanie ogromnej liczby liczb. A potem na ratunek przychodzą średnie. Pozwalają na ogólną ocenę sytuacji.
Od czasów szkolnych wielu dorosłych pamięta istnienie średniej arytmetycznej. Bardzo łatwo to obliczyć - suma ciągu n wyrazów jest podzielna przez n. Oznacza to, że jeśli chcesz obliczyć średnią arytmetyczną w sekwencji wartości 27, 22, 34 i 37, musisz rozwiązać wyrażenie (27 + 22 + 34 + 37) / 4, ponieważ 4 wartości są wykorzystywane w obliczeniach. W takim przypadku żądana wartość będzie równa 30.
Średnia geometryczna jest często badana w ramach kursu szkolnego. Obliczenie tej wartości opiera się na wyodrębnieniu pierwiastka n-tego stopnia z produktun-członków. Jeśli weźmiemy te same liczby: 27, 22, 34 i 37, to wynik obliczeń wyniesie 29, 4.
Średnia harmoniczna w szkole ogólnokształcącej zwykle nie jest przedmiotem badań. Jest jednak używany dość często. Ta wartość jest odwrotnością średniej arytmetycznej i jest obliczana jako iloraz n - liczba wartości i suma 1/a1+1/a2 +…+1/a. Jeśli ponownie weźmiemy do obliczeń tę samą serię liczb, to harmoniczna będzie wynosić 29, 6.
Średnia ważona: cechy
Jednak wszystkie powyższe wartości mogą nie być używane wszędzie. Na przykład w statystyce, przy obliczaniu niektórych wartości średnich, ważną rolę odgrywa „waga” każdej liczby użytej w obliczeniach. Wyniki są bardziej odkrywcze i poprawne, ponieważ uwzględniają więcej informacji. Ta grupa wartości jest zbiorczo określana jako „średnia ważona”. Nie są one przekazywane w szkole, warto więc przyjrzeć się im bardziej szczegółowo.
Przede wszystkim warto wyjaśnić, co oznacza „waga” określonej wartości. Najłatwiej to wyjaśnić na konkretnym przykładzie. Temperatura ciała każdego pacjenta jest mierzona dwa razy dziennie w szpitalu. Spośród 100 pacjentów na różnych oddziałach szpitala 44 będzie miało normalną temperaturę - 36,6 stopnia. Kolejne 30 będzie miało podwyższoną wartość - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, a pozostałe dwa - 40. A jeśli weźmiemy średnią arytmetyczną, to ta wartość ogólnie dla szpitala będzie powyżej 38stopnie! Ale prawie połowa pacjentów ma całkowicie normalną temperaturę. I tutaj bardziej poprawne byłoby użycie średniej ważonej, a „wagą” każdej wartości będzie liczba osób. W takim przypadku wynik obliczeń wyniesie 37,25 stopnia. Różnica jest oczywista.
W przypadku obliczeń średniej ważonej, „waga” może być traktowana jako liczba przesyłek, liczba osób pracujących w danym dniu, ogólnie wszystko, co można zmierzyć i wpłynąć na wynik końcowy.
Odmiany
Średnia ważona odpowiada średniej arytmetycznej omówionej na początku artykułu. Jednak pierwsza wartość, jak już wspomniano, uwzględnia również wagę każdej liczby użytej w obliczeniach. Ponadto istnieją również geometryczne i harmoniczne średnie ważone.
Istnieje inna interesująca odmiana serii liczb. Jest to ważona średnia ruchoma. To na jego podstawie wyliczane są trendy. Oprócz samych wartości i ich wagi stosuje się tam również okresowość. A przy obliczaniu średniej wartości w pewnym momencie uwzględniane są również wartości z poprzednich okresów.
Obliczanie wszystkich tych wartości nie jest takie trudne, ale w praktyce zwykle używana jest tylko zwykła średnia ważona.
Metody obliczania
W dobie komputeryzacji nie ma potrzeby ręcznego obliczania średniej ważonej. Jednak warto znać formułę obliczeniową, aby mócsprawdzić i w razie potrzeby poprawić uzyskane wyniki.
Najłatwiej będzie rozważyć obliczenia na konkretnym przykładzie.
| Wynagrodzenie (tys. rubli) | Liczba pracowników (osób) |
| 32 | 20 |
| 33 | 35 |
| 34 | 14 |
| 40 | 6 |
Konieczne jest ustalenie, jaka jest średnia płaca w tym przedsiębiorstwie, biorąc pod uwagę liczbę pracowników otrzymujących ten lub inny dochód.
Więc średnia ważona jest obliczana przy użyciu następującego wzoru:
x=(a1w1+a2w 2+…+a w)/(w1+w 2+…+w)
Na przykład obliczenia będą wyglądać następująco:
x=(3220+3335+3414+406)/(20+35+14+6)=(640+1155+476+240)/75=33, 48
Oczywiście ręczne obliczenie średniej ważonej nie jest zbyt trudne. Formuła do obliczania tej wartości w jednej z najpopularniejszych aplikacji z formułami - Excel - wygląda jak funkcja SUMPRODUCT (seria liczb; seria wag) / SUMA (seria wag).
