Kryterium Hurwitza. Kryteria stateczności Wald, Hurwitz, Savage

2024 Autor: Henry Conors | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-02-12 11:50

Artykuł omawia takie pojęcia jak kryteria Hurwitza, Savage'a i Walda. Nacisk kładziony jest głównie na pierwszy. Kryterium Hurwitza zostało szczegółowo opisane zarówno z algebraicznego punktu widzenia, jak i z punktu widzenia podejmowania decyzji w warunkach niepewności.

Warto zacząć od definicji zrównoważonego rozwoju. Charakteryzuje zdolność układu do powrotu do stanu równowagi po zakończeniu zaburzenia, które naruszyło wcześniej ukształtowaną równowagę.

Ważne jest, aby pamiętać, że jego przeciwnik - niestabilny system - stale oddala się od stanu równowagi (oscyluje wokół niego) z powracającą amplitudą.

Kryteria zrównoważonego rozwoju: definicja, rodzaje

Jest to zestaw reguł, które pozwalają ocenić istniejące znaki pierwiastków równania charakterystycznego bez szukania jego rozwiązania. A te ostatnie z kolei dają możliwość oceny stabilności konkretnego systemu.

Z reguły są to:

• algebraic (tworzenie wyrażeń algebraicznych według określonego równania charakterystycznego przy użyciu specialzasady charakteryzujące stabilność ACS);
• częstotliwość (przedmiot badań - charakterystyka częstotliwości).

Kryterium stabilności Hurwitza z algebraicznego punktu widzenia

Jest to kryterium algebraiczne, które zakłada uwzględnienie pewnego charakterystycznego równania w postaci standardowej:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0.

Przy użyciu jej współczynników tworzona jest macierz Hurwitza.

Zasada kompilacji macierzy Hurwitza

W kierunku od góry do dołu wszystkie współczynniki odpowiedniego równania charakterystycznego są wypisane w kolejności, zaczynając od aᵥ₋₁ do a0. We wszystkich kolumnach w dół od głównej przekątnej wskaż współczynniki rosnących potęg operatora p, następnie w górę - malejące. Brakujące elementy są zastępowane zerami.

Ogólnie przyjmuje się, że system jest stabilny, gdy wszystkie dostępne przekątne podrzędne rozważanej macierzy są dodatnie. Jeżeli wyznacznik główny jest równy zero, to możemy mówić o jego położeniu na granicy stateczności, a aᵥ=0. Jeżeli pozostałe warunki są spełnione, rozpatrywany układ znajduje się na granicy nowej stabilności aperiodycznej (przedostatni małoletni jest równy zeru). Z dodatnią wartością pozostałych drugorzędnych - na granicy już stabilności oscylacyjnej.

Podejmowanie decyzji w sytuacji niepewności: kryteria Walda, Hurwitza, Savage'a

Są to kryteria wyboru najodpowiedniejszej odmiany strategii. Kryterium Savage'a (Hurwitza, Walda) stosuje się w sytuacjach, gdy istnieją niepewne prawdopodobieństwa a priori stanów przyrody. Ich podstawą jest analiza macierzy ryzyka lub macierzy płatności. Jeśli rozkład prawdopodobieństwa przyszłych stanów jest nieznany, wszystkie dostępne informacje są sprowadzane do listy możliwych opcji.

Więc warto zacząć od kryterium maksymimy Walda. Działa jako kryterium skrajnego pesymizmu (ostrożny obserwator). To kryterium można sformułować zarówno dla strategii czystych, jak i mieszanych.

Nazwę zawdzięcza statystycznemu założeniu, że natura może realizować stany, w których wielkość wzmocnienia jest równa najmniejszej wartości.

To kryterium jest identyczne z kryterium pesymistycznym, które jest stosowane przy rozwiązywaniu gier macierzowych, najczęściej w strategiach czystych. Więc najpierw musisz wybrać minimalną wartość elementu z każdego wiersza. Następnie wybierana jest strategia decydenta, która odpowiada maksymalnemu elementowi spośród już wybranych minimalnych.

Opcje wybrane przez rozważane kryterium są wolne od ryzyka, ponieważ decydent nie ma gorszego wyniku niż ten, który działa jako wskazówka.

Tak więc, zgodnie z kryterium Walda, czysta strategia jest uznawana za najbardziej akceptowalną, ponieważ gwarantuje maksymalny maksymalny zysk w najgorszych warunkach.

Następnie rozważ kryterium Savage'a. Tutaj, wybierając jedno z dostępnych rozwiązań, w praktyce z reguły poprzestają na tym, które doprowadzi do minimalnych konsekwencji w przypadkujeśli wybór nadal okaże się błędny.

Zgodnie z tą zasadą każda decyzja charakteryzuje się pewną ilością dodatkowych strat powstałych w trakcie jej realizacji w porównaniu z poprawną w istniejącym stanie natury. Oczywiście prawidłowe rozwiązanie nie może powodować dodatkowych strat, dlatego ich wartość jest równa zeru. W związku z tym najbardziej odpowiednią strategią jest ta, w której straty są minimalne w najgorszych okolicznościach.

Kryterium pesymizmu-optymizmu

To jest inna nazwa kryterium Hurwitza. W procesie wyboru rozwiązania, w trakcie oceny obecnej sytuacji, zamiast dwóch skrajności trzymają się tzw. pozycji pośredniej, która uwzględnia prawdopodobieństwo zarówno korzystnych, jak i najgorszych zachowań przyrody.

Ten kompromis został zaproponowany przez Hurwitza. Według niego dla każdego rozwiązania należy ustawić kombinację liniową min i max, a następnie wybrać strategię, która odpowiada ich największej wartości.

Kiedy dane kryterium jest uzasadnione?

Wskazane jest zastosowanie kryterium Hurwitza w sytuacji charakteryzującej się następującymi cechami:

1. Należy wziąć pod uwagę najgorszy przypadek.
2. Brak wiedzy o prawdopodobieństwach stanów natury.
3. Podejmijmy trochę ryzyka.
4. Wdrożono dość małą liczbę rozwiązań.

Wniosek

Na koniec warto przypomnieć, że artykułKryteria Hurwitza, Savage'a i Walda. Kryterium Hurwitza jest szczegółowo opisane z różnych punktów widzenia.