Równowaga Nasha. Teoria gier dla ekonomistów (John Nash)

2024 Autor: Henry Conors | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-02-12 11:47

W latach trzydziestych John von Neumann i Oscar Morgenstern zostali założycielami nowej i interesującej gałęzi matematyki zwanej „teorią gier”. W latach pięćdziesiątych tym kierunkiem zainteresował się młody matematyk John Nash. Teoria równowagi stała się tematem jego pracy doktorskiej, którą napisał w wieku 21 lat. Tak narodziła się nowa strategia gry o nazwie „Równowaga Nasha”, która wiele lat później – w 1994 roku – zdobyła Nagrodę Nobla.

Długa przerwa między napisaniem pracy doktorskiej a ogólnym uznaniem stała się testem dla matematyka. Geniusz bez rozpoznania skutkował poważnymi zaburzeniami psychicznymi, ale John Nash był w stanie rozwiązać ten problem dzięki doskonałemu logicznemu umysłowi. Jego teoria równowagi Nasha zdobyła Nagrodę Nobla, a jego życie zostało sfilmowane w filmie Piękny umysł.

Krótko o teorii gier

Ponieważ teoria równowagi Nasha wyjaśnia zachowanie ludzi w warunkach interakcji, warto rozważyć podstawowe pojęcia teorii gier.

Teoria gier bada zachowanie uczestników (agentów) pod kątem interakcji między sobą, jak w grze, gdy wynik zależy od decyzji i zachowania kilku osób. Uczestnik podejmuje decyzje na podstawie swoich przewidywań dotyczących zachowania innych, co nazywa się strategią gry.

Istnieje również strategia dominująca, w której uczestnik uzyskuje najlepszy wynik za jakiekolwiek zachowanie innych uczestników. To najlepsza strategia wygrana-wygrana gracza.

Dylemat więźnia i przełom naukowy

Dylemat więźnia to przypadek gry, w której uczestnicy zmuszeni są do podejmowania racjonalnych decyzji, osiągania wspólnego celu w obliczu konfliktu alternatyw. Pytanie brzmi, którą z tych opcji wybierze, realizując interes osobisty i ogólny, a także niemożność uzyskania obu. Gracze wydają się być uwięzieni w trudnym środowisku gry, co czasami sprawia, że myślą bardzo produktywnie.

Ten dylemat został zbadany przez amerykańskiego matematyka Johna Nasha. Równowaga, którą osiągnął, była na swój sposób rewolucyjna. Szczególnie wyraźnie ta nowa myśl wpłynęła na opinię ekonomistów o tym, jak gracze rynkowi dokonują wyborów, biorąc pod uwagę interesy innych, przy bliskiej interakcji i skrzyżowaniu interesów.

Najlepiej studiować teorię gier na konkretnych przykładach, ponieważ ta matematyczna dyscyplina sama w sobie nie jest czysto teoretyczna.

Przykład dylematu więźnia

Przykład, dwie osoby popełniły napad rabunkowy, wpadły w ręce policji i są przesłuchiwane w osobnych celach. Jednocześnie policjanci oferują każdemu uczestnikowi korzystne warunki, na których zostanie zwolniony, jeśli zeznaje przeciwko partnerowi. Każdy zprzestępcy mają następujący zestaw strategii, które rozważy:

Oboje zeznają w tym samym czasie i dostają 2,5 roku więzienia.
Oboje milczą w tym samym czasie i otrzymują po 1 roku każdy, ponieważ w tym przypadku baza dowodowa ich winy będzie niewielka.
Jeden zeznaje i zostaje zwolniony, podczas gdy drugi milczy i dostaje 5 lat więzienia.

Oczywiście wynik sprawy zależy od decyzji obu uczestników, ale nie mogą się zgodzić, ponieważ siedzą w różnych celach. Wyraźnie widoczny jest również konflikt ich osobistych interesów w walce o wspólny interes. Każdy z więźniów ma dwie opcje działania i cztery opcje wyników.

Łańcuch wnioskowania logicznego

Więc sprawca A rozważa następujące opcje:

Milczę, a mój partner milczy - oboje dostaniemy 1 rok więzienia.
Oddaję mojego partnera, a on mnie wydaje - oboje dostajemy 2,5 roku więzienia.
Milczę, a mój partner mnie zdradza - dostanę 5 lat więzienia, a on będzie wolny.
Oddaję mojego partnera, ale on milczy - dostaję wolność, a on dostaje 5 lat więzienia.

Podajmy macierz możliwych rozwiązań i wyników dla jasności.

Tabela możliwych skutków dylematu więźnia.

Pytanie brzmi, co każdy z uczestników wybierze?

"Milcz, nie możesz mówić" lub "Nie możesz milczeć, nie możesz mówić"

Aby zrozumieć wybór uczestnika, musisz przejść przez łańcuch jego myśli. Zgodnie z rozumowaniem przestępcy A: jeśli milczę, a mój partner milczy, otrzymamy minimalny okres (1 rok), ale jaNie wiem, jak się zachowa. Jeśli zeznaje przeciwko mnie, to lepiej, żebym zeznawał, bo inaczej mogę siedzieć przez 5 lat. Wolałbym siedzieć 2,5 roku niż 5 lat. Jeśli milczy, tym bardziej muszę zeznawać, bo w ten sposób dostanę wolność. Uczestnik B.

Nietrudno zauważyć, że dominującą strategią każdego ze sprawców jest składanie zeznań. Optymalny punkt tej gry pojawia się, gdy obaj przestępcy zeznają i otrzymują swoją „nagrodę” - 2,5 roku więzienia. Teoria gier Nasha nazywa tę równowagę.

Nieoptymalne optymalne rozwiązanie Nasha

Rewolucyjna natura poglądu Nashia polega na tym, że taka równowaga nie jest optymalna, gdy weźmie się pod uwagę indywidualnego uczestnika i jego własny interes. W końcu najlepszą opcją jest milczenie i bycie wolnym.

Równowaga Nasha to punkt zbieżności interesów, w którym każdy uczestnik wybiera opcję, która jest dla niego optymalna tylko wtedy, gdy inni uczestnicy wybiorą określoną strategię.

Rozważając opcję, gdy obaj przestępcy milczą i otrzymują tylko 1 rok, możemy to nazwać opcją optymalna w sensie Pareto. Jest to jednak możliwe tylko wtedy, gdy przestępcy wcześniej się na to zgodzili. Ale nawet to nie gwarantowałoby takiego wyniku, bo pokusa wycofania się z umowy i uniknięcia kary jest wielka. Brak pełnego zaufania do siebie i niebezpieczeństwo dostania 5 lat zmuszenia do wyboru opcji z uznaniem. Zastanów się, do czego będą się stosować uczestnicyopcja z ciszą, działając w porozumieniu, jest po prostu irracjonalna. Taki wniosek można wyciągnąć, badając równowagę Nasha. Przykłady tylko dowodzą, że masz rację.

Samolubne lub racjonalne

Teoria równowagi Nasha dostarczyła zaskakujących wniosków, które obaliły istniejące wcześniej zasady. Na przykład Adam Smith uznał zachowanie każdego z uczestników za całkowicie egoistyczne, co doprowadziło do równowagi systemu. Ta teoria została nazwana „niewidzialną ręką rynku”.

John Nash zauważył, że jeśli wszyscy uczestnicy działają we własnym interesie, nigdy nie doprowadzi to do optymalnego wyniku grupy. Biorąc pod uwagę, że racjonalne myślenie jest nieodłączne od każdego uczestnika, wybór oferowany przez strategię równowagi Nasha jest bardziej prawdopodobny.

Eksperyment wyłącznie męski

Doskonałym przykładem jest paradoks blondynki, która choć pozornie nie na miejscu, jest jasną ilustracją tego, jak działa teoria gier Nasha.

W tej grze musisz sobie wyobrazić, że grupa wolnych facetów przyszła do baru. W pobliżu jest towarzystwo dziewcząt, z których jedna jest lepsza od innych, powiedzmy blondynka. Jak zachowują się faceci, aby zdobyć dla siebie najlepszą dziewczynę?

Więc rozumowanie chłopaków: jeśli wszyscy zaczną poznawać blondynkę, najprawdopodobniej nikt tego nie zrozumie, to jej przyjaciele nie będą chcieli się poznać. Nikt nie chce być drugim awaryjnym. Ale jeśli chłopcy zdecydują się unikaćblond, to prawdopodobieństwo, że każdy z chłopaków znajdzie wśród dziewczyn dobrą dziewczynę, jest wysokie.

Sytuacja równowagi Nasha nie jest optymalna dla facetów, ponieważ realizując tylko własne, egoistyczne interesy, każdy wybrałby blondynkę. Widać, że dążenie do wyłącznie egoistycznych interesów będzie równoznaczne z upadkiem interesów grupowych. Równowaga Nasha będzie oznaczać, że każdy facet działa we własnym interesie, który jest w kontakcie z interesami całej grupy. Nie jest to najlepsza opcja dla każdego osobiście, ale najlepsza dla wszystkich, w oparciu o ogólną strategię sukcesu.

Całe nasze życie to gra

Podejmowanie decyzji w prawdziwym świecie jest bardzo podobne do gry, w której oczekujesz pewnych racjonalnych zachowań również od innych uczestników. W biznesie, w pracy, w zespole, w firmie, a nawet w relacjach z płcią przeciwną. Od wielkich transakcji po zwykłe sytuacje życiowe, wszystko podlega temu lub drugiemu prawu.

Oczywiście powyższe sytuacje w grze z przestępcami i barem to tylko doskonałe ilustracje, które pokazują równowagę Nasha. Przykłady takich dylematów bardzo często pojawiają się na prawdziwym rynku, a to działa szczególnie w przypadkach, gdy rynek kontroluje dwóch monopolistów.

Strategie mieszane

Często bierzemy udział nie w jednej, ale w kilku grach jednocześnie. Wybierając jedną z opcji w jednej grze, kierując się racjonalną strategią, kończysz w innej grze. Po kilku racjonalnych decyzjach może się okazać, że wynik Ci się nie podoba. Cowziąć?

Rozważmy dwa rodzaje strategii:

Czysta strategia to zachowanie uczestnika, które wynika z myślenia o możliwym zachowaniu innych uczestników.
Strategia mieszana lub strategia losowa to alternatywa czystych strategii losowych lub wybór czystej strategii z określonym prawdopodobieństwem. Ta strategia jest również nazywana losową.

Rozważając to zachowanie, otrzymujemy nowe spojrzenie na równowagę Nasha. Jeśli wcześniej było powiedziane, że gracz raz wybiera strategię, to można sobie wyobrazić inne zachowanie. Można założyć, że gracze wybierają strategię losowo z pewnym prawdopodobieństwem. Gry, które nie mogą znaleźć równowagi Nasha w czystych strategiach, zawsze mają je w strategiach mieszanych.

Równowaga Nasha w strategiach mieszanych nazywana jest równowagą mieszaną. Jest to równowaga, w której każdy uczestnik wybiera optymalną częstotliwość wyboru swoich strategii, pod warunkiem, że inni uczestnicy wybierają swoje strategie z określoną częstotliwością.

Kary i strategia mieszana

Przykład strategii mieszanej można znaleźć w grze w piłkę nożną. Najlepszą ilustracją strategii mieszanej jest być może rzut karny. Mamy więc bramkarza, który może wskoczyć tylko w jeden róg i zawodnika, który wykona rzut karny.

Tak więc, jeśli za pierwszym razem gracz wybiera strategię, aby strzelić w lewy róg, a bramkarz również wpada w ten róg i łapie piłkę, jak sprawy mogą się rozwinąć za drugim razem? Jeśli graczuderzy w przeciwległy róg, jest to najprawdopodobniej zbyt oczywiste, ale uderzenie w ten sam róg jest nie mniej oczywiste. Dlatego zarówno bramkarz, jak i kopiący nie mają innego wyjścia, jak polegać na losowym wyborze.

Tak więc, naprzemiennie losowy wybór z określoną czystą strategią, gracz i bramkarz starają się uzyskać maksymalny wynik.